Question

已知函數(shù)．

（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；

（2）若方程有解，求實數(shù)m的取值范圍；

（3）若存在實數(shù)，使成立，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）;（3）詳見解析.

【解析】

試題分析: （1）對求導可得，令，或，由導數(shù)與單調性的關系可知，所以遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；

（2）若方程有解有解，令，則原問題轉化為求g（x）的值域，而m只要再g（x）的值域內即可。故對g（x）求導，則令，，所以在遞增，在遞減， ，故;

（3）根據(jù)的結構，構造輔助函數(shù)，則由（2）知，在遞增，在遞減，由條件有，不妨設，則必有，于是，再利用反證法證明，假設，則，

即，令，則有，即 （*），、令.，因為恒成立，所以在上是增函數(shù)，所以，所以在上是減函數(shù)，故,時，，這與（*）矛盾！所以原不等式得證，即．

試題解析：解：（1）， 1分

令，或 3分

所以遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為 4分

（2），令，則

令，，

所以在遞增，在遞減， 6分

，故 8分

(3)令，則由（2）知，在遞增，在遞減.

由條件有，不妨設，則必有，于是 9分

假設，則，

即，令，

則有，即 （*），

令.， 11分

因為恒成立，所以在上是增函數(shù)，

所以，所以在上是減函數(shù)，

故,時，，這與（*）矛盾！

所以原不等式得證，即． 13分

考點：1.導數(shù)在函數(shù)單調性上的應用；2. 導數(shù)與函數(shù)最值.