Question

（2012•江蘇二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)P在曲線xy=1（x＞0）上，點(diǎn)P在x軸上的射影為M．若點(diǎn)P在直線x-y=0的下方，當(dāng)

OP2

OM-MP

取得最小值時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為

（

6 - 2

2

，

6 + 2

2

）

．

Answer 1

分析：設(shè)點(diǎn)P（t，

1

t

），將

OP2

OM-MP

化成關(guān)于t的表達(dá)式，結(jié)合題意得t-

1

t

是正數(shù)，利用基本不等式可求出

OP2

OM-MP

的最小值為2

2

，根據(jù)等號(hào)成立的條件求出t的值，從而得到此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)．

解答：解：設(shè)點(diǎn)P（t，

1

t

），得OP²=t²+

1

t2

，而OM=t，MP=

1

t

∴

OP2

OM-MP

=

t2+ 1 t2

t- 1 t

=

(t - 1 t  )2+2

t- 1 t

=（t-

1

t

）+

2

t- 1 t

∵點(diǎn)P在直線x-y=0的下方，且t＞0
∴t＞1，得t-

1

t

是正數(shù)，所以（t-

1

t

）+

2

t- 1 t

≥2

2

當(dāng)且僅當(dāng)t-

1

t

=

2

t- 1 t

=

2

時(shí)，不等式的等號(hào)成立，解之得t=

6 - 2

2

，

1

t

=

6 + 2

2

∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（

6 - 2

2

，

6 + 2

2

）
故答案為：（

6 - 2

2

，

6 + 2

2

）

點(diǎn)評(píng)：本題通過(guò)曲線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求關(guān)于線段OP、OM、MP的分式的最小值，著重考查了曲線與方程、利用基本不等式求最值和簡(jiǎn)單的演繹推理等知識(shí)，屬于中檔題．