Question

設偶函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，且f（1）=0，則不等式

f(x)+f(-x)

x

＜0的解集為（　　）

A．（-∞，-1）∪（0，1）

B．（-1，0）∪（1，+∞）

C．（-∞，-1）∪（1，+∞）

D．（-1，0）∪（0，1）

Answer 1

分析：根據偶函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，確定函數f（x）在（-∞，0）上為減函數，從而可解不等式．

解答：解：∵f（x）是偶函數，
∴

f(x)+f(x)

x

＜0
∴x＞0時，f（x）＜0
∵f（1）=0，∴f（x）＜f（1），
∵函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，
∴0＜x＜1
∵f（1）=0，∴f（-1）=f（1）=0
∵x＜0時，f（x）＞0，∴f（x）＞f（-1）
∵偶函數f（x）在（0，+∞）上為增函數，
∴函數f（x）在（-∞，0）上為減函數，
∴x＜-1
綜上，不等式

f(x)+f(-x)

x

＜0的解集為（-∞，-1）∪（0，1），
故選A．

點評：本題考查函數單調性與奇偶性的結合，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．