傾斜角為
π4
的直線l經(jīng)過拋物線y2=4x的焦點，且與拋物線相交于A、B兩點，求線段AB的長．
分析：先根據(jù)題意寫出直線的方程，再將直線的方程與拋物線y2=4x的方程組成方程組，消去y得到關(guān)于x的二次方程，最后利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合拋物線的定義即可求線段AB的長．
解答：解：設(shè)A（x1，），B（x2，），A，B到準線的距離分別為dA，dB，
由拋物線的定義可知|AF|=dA=x1+1，|BF|=dB=x2+1，于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2．（3分）
由已知得拋物線的焦點為F（1，0），斜率k=tan
π
4
=1，所以直線AB方程為y=x-1．（6分）
將y=x-1代入方程y2=4x，得（x-1）2=4x，化簡得x2-6x+1=0．
由求根公式得x1=3+2
2
，x2=3-2
2
，（9分）
于是|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=8．
所以，線段AB的長是8．（12分）
點評：本題主要考查了拋物線的應(yīng)用以及直線與圓錐曲線的綜合問題和方程的思想，屬中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為（5，0），傾斜角為
π4
的直線l與線段OA相交（l不過點O和點A）且交拋物線于M、N兩點，則△AMN的最大面積為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知拋物線y2=2px的準線的方程為x=-1，過點（1，0）作傾斜角為
π4
的直線l交該拋物線于兩點（x1，y1），B（x2，y2）．
求（1）p的值；（2）弦長|AB|．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖所示，拋物線y2=4x的頂點為O，點A的坐標為（5，0），傾斜角為
π
4
的直線l與線段OA相交（不經(jīng)過點O或點A）且交拋物線于M、N兩點，求△AMN面積 最大時直線l的方程，并求△AMN的最大面積
8
2
8
2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2003•東城區(qū)二模）已知拋物線C1：y2=4ax（a＞0），橢圓C以原點為中心，以拋物線C1的焦點為右焦點，且長軸與短軸之比為
2
，過拋物線C1的焦點F作傾斜角為
π
4
的直線l，交橢圓C于一點P（點P在x軸上方），交拋物線C1于一點Q（點Q在x軸下方）．
（Ⅰ）求點P和Q的坐標；
（Ⅱ）將點Q沿直線l向上移動到點Q′，使|QQ′|=4a，求過P和Q′且中心在原點，對稱軸是坐標軸的雙曲線的方程；
（Ⅲ）設(shè)點A（t，0）（常數(shù)t＞4），當(dāng)a在閉區(qū)間〔1，2〕內(nèi)變化時，求△APQ面積的最大值，并求相應(yīng)a的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2012•寶山區(qū)一模）過拋物線y2=2x的焦點F，傾斜角為
π
4
的直線l交拋物線于A，B（xA＞xB），則
|AF|
|BF|
的值
3+2
2
3+2
2
．

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