Question

已知定義在R的函數(shù)f（x）對任意的x₁，x₂都滿足f（x₁+x₂）=f（x₁）+f（x₂），且當x＜0時，f（x）＜0．
（1）判斷f（x）的單調(diào)性和奇偶性，并說明理由；
（2）若不等式對一切恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

解：（1）令x=y=0，有f（0）=0，令x₁=x，x₂=-x
有f（-x）+f（x）=f（x-x）=f（0）=0，
即f（-x）=-f（x），故f（x）為奇函數(shù)
在R上任取x₁＜x₂，則x₁-x₂＜0，由題意知f（x₁-x₂）＜0
則f（x₁-x₂）=f（x₁）+f（-x₂）=f（x₁）-f（x₂）＞0
故f（x）是增函數(shù)
（2）要使
只須
又由f（x）為單調(diào)增函數(shù)有
令t=sinθ+cosθ，則sin2θ=t²-1，∵，∴
原命題等價于對恒成立∴，即
令，在時g′（t）＜0，故g（t）在上為減函數(shù)，∴m＞3時，原命題成立．
法2：由對恒成立
有（t²-mt+2）（t-2）＞0，∵t-2＜0，故t²-mt+2＜0在恒成立
只需?m＞3
分析：（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性，首先要結合定義域和所給區(qū)間任設兩個變量并保證大小關系，然后通過f（x₁）=f（x₁-x₂+x₂）=f（x₁-x₂）+f（x₂）＜f（x₂）即可獲得相應變量對應函數(shù)值的大小關系，結合函數(shù)單調(diào)性的定義即可獲得問題的解答；賦值求出f（0）=0，再令x₁=-x，x₂=x，有f（-x+x）=f（-x）+f（x）構造出f（-x）與f（x）的方程研究其間的關系，得出奇偶性，解答本題時注意做題格式，先判斷后證明．
（2）此題考查的是函數(shù)與方程的綜合應用類問題．在解答時，先結合存在性問題的特點先假設存在m符合題意，然后將問題轉(zhuǎn)化為恒成立的問題結合二次函數(shù)的特點即可獲得問題的解答．
點評：本題以抽象函數(shù)滿足的性質(zhì)為載體，考查函數(shù)的單調(diào)性證明問題．抽象函數(shù)的奇偶性的判定，以及賦值法的應用，屬于中檔題，在解答的過程當中充分體現(xiàn)了函數(shù)單調(diào)性的定義、作差法以及賦值法等知識．值得同學們體會和反思．