已知定義在R的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x＞0時，f（x）＜0，又f（1）=，
（1）求征，f（x）為奇函數(shù)；
（2）求證：f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）求f（x）在[-3，6]上的最大值與最小值．
【答案】分析：（1）首先令y=-x，求得f（x）+f（-x）=f（0），然后求出f（0）的值，進而得出f（x）=-f（-x），即可證明為奇函數(shù)；
（2）設x1＜x2，通過f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）來判斷f（x2）與f（x1）的大小關系；
（3）先求出f（3）的值，由（2）可知函數(shù)為減函數(shù)，可知x=-3時，取得最大值，x=6時取得最小值．
解答：解：（1）證明：令y=-x，則f（x）+f（-x）=f（x-x）=f（0），
當x=1，y=0時，則f（1）+f（0）=f（1）
∴f（0）=0
∴f（x）+f（-x）=f（0）=0
即f（x）=-f（-x）
∴f（x）為奇函數(shù)
（2）設x1，x2∈R，且x1＜x2，則f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1）
∴f（x2）-f（x1）=f（x2-x1），
∵x2-x1＞0，由題意得f（x2-x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）
∴f（x）在R是減函數(shù)；
（3）∵f（1）=
∴f（2）=-  f（3）=-2
∵f（x）在[-3，6]上是減函數(shù)，
∴f（x）max=f（-3）=-f（3）=2
f（x）min=f（6）=-4
點評：本題主要考查了函數(shù)奇偶性、單調性的判斷，對于抽象函數(shù)奇偶性的判斷一般采取取特殊值的方法．
練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R的函數(shù)f(x)=
-2x+a2x+1+b
（a，b為實常數(shù)）．
（Ⅰ）當a=b=1時，證明：f（x）不是奇函數(shù)；
（Ⅱ）設f（x）是奇函數(shù)，求a與b的值；
（Ⅲ）當f（x）是奇函數(shù)時，證明對任何實數(shù)x、c都有f（x）＜c2-3c+3成立．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R的函數(shù)f(x)=m+
1
2x+1
為奇函數(shù)，則m的值是（　�。�
A、0
B、-
1
2
C、
1
2
D、2

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R的函數(shù)f（x）對任意實數(shù)x，y恒有f（x）+f（y）=f（x+y），且當x＞0時，f（x）＜0，又f（1）=-
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，
（1）求征，f（x）為奇函數(shù)；
（2）求證：f（x）在R上是減函數(shù)；
（3）求f（x）在[-3，6]上的最大值與最小值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知定義在R的函數(shù)f（x）對任意的x1，x2都滿足f（x1+x2）=f（x1）+f（x2），且當x＜0時，f（x）＜0．
（1）判斷f（x）的單調性和奇偶性，并說明理由；
（2）若不等式f[sin2θ-(2+m)(sinθ+cosθ)-
4
sinθ+cosθ
]+f(3+2m)＞0對一切θ∈[0，
π
2
]恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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