Question

已知函數(shù)f（x）=-sin2x-

3

（1-2sin²x）+1．
（1）求f（x）的最小正周期及其單調(diào)減區(qū)間；
（2）當(dāng)x∈[-

π

6

，

π

6

]時(shí)，求f（x）的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,兩角和與差的正弦函數(shù),二倍角的正弦,三角函數(shù)的周期性及其求法,正弦函數(shù)的定義域和值域

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）利用三角恒等變換化簡f（x）的解析式為-2sin（2x+

π

3

）=1，由此可得函數(shù)的最小正周期．函數(shù)f（x）的減區(qū)間，即為y=sin（2x+

π

3

）的增區(qū)間．令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得x的范圍，即為所求．
（2）根據(jù)x∈[-

π

6

，

π

6

]，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得sin（2x+

π

3

）的范圍，可得f（x）的值域．

解答： 解：（1）由于函數(shù)f（x）=-sin2x-

3

（1-2sin²x）+1=-sin2x-

3

cos2x+1=-2sin（2x+

π

3

）=1．
故函數(shù)的最小正周期

2π

2

，函數(shù)f（x）的減區(qū)間，即為y=sin（2x+

π

3

）的增區(qū)間．
令 2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈z，求得 kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，k∈z，
可得函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]，k∈z．
（2）因?yàn)閤∈[-

π

6

，

π

6

]，所以，2x+

π

3

∈[0，

2π

3

]，所以，sin（2x+

π

3

）∈[0，1]，
所以，f（x）=-2sin（2x+

π

3

）+1∈[-1，1]，所以，f（x）的值域?yàn)閇-1，1]．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換，正弦函數(shù)的周期性、單調(diào)性、定義域和值域，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．