(本小題滿分13分)已知AB分別是直線yxy=-x上的兩個動點,線段AB的長為2,DAB的中點.
(1)求動點D的軌跡C的方程;
(2)若過點(1,0)的直線l與曲線C交于不同兩點P、Q,
①當|PQ|=3時,求直線l的方程;
②設點E(m,0)是x軸上一點,求當·恒為定值時E點的坐標及定值.

解: (1)設D(x,y),A(a,a),B(b,-b),
DAB的中點, ∴x,y,[來源:Z|xx|k.Com]
∵ |AB|=2,∴(ab)2+(ab)2=12,
∴(2y)2+(2x)2=12,∴點D的軌跡C的方程為x2y2=3.
(2) ①當直線lx軸垂直時,P(1,),Q(1,-),
此時|PQ|=2,不符合題意;
當直線lx軸不垂直時,設直線l的方程為yk(x-1),
由于|PQ|=3,所以圓心C到直線l的距離為,
,解得k.故直線l的方程為y(x-1).
②當直線l的斜率存在時,設其斜率為k,則l的方程為yk(x-1),
由消去y得(k2+1)x2-2k2xk2-3=0,
P(x1,y1),Q(x2,y2)則由韋達定理得x1x2,x1x2,
=(mx1,-y1),=(mx2,-y2),
·=(mx1)(mx2)+y1y2m2m(x1x2)+x1x2y1y2
m2m(x1x2)+x1x2k2(x1-1)(x2-1)
m2k2 (+1)=
要使上式為定值須=1,解得m=1,
·為定值-2,
當直線l的斜率不存在時P(1,),Q(1,-),
E(1,0)可得=(0,-),=(0,),
·=-2,           
綜上所述當E(1,0)時,·為定值-2.

解析

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(Ⅱ)求異面直線所成的角。www.7caiedu.cn           

 

 

 

 

 

 


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