Question

（2013•江門(mén)二模）如圖甲，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E、F分別在AB、CD上，并且滿(mǎn)足AE=2EB，CF=2FD，如圖乙，將直角梯形AEFD沿EF折到A₁EFD₁的位置，使點(diǎn)A₁在平面EBCF上的射影G恰好在BC上．
（1）證明：A₁E∥平面CD₁F；
（2）求平面BEFC與平面A₁EFD₁所成二面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）利用線(xiàn)面平行的判定定理即可證明；
（2）如圖所示，利用圖甲、乙，求出EF、A₁E、A₁G，作GT∥BE交EF于點(diǎn)T，則TG⊥GC，以點(diǎn)G為原點(diǎn)，分別以GC、GT、GA₁所在直線(xiàn)為x、y、z軸，建立如圖丙所示的空間直角坐標(biāo)系，利用兩個(gè)平面的法向量的夾角即可得出二面角．

解答：（1）證明：在圖甲中，易知AE∥DF，從而在圖乙中有A₁E∥D₁F，
∵A₁E?平面CD₁F，D₁F?平面CD₁F，∴A₁E∥平面CD₁F．
（2）解：如圖，在圖乙中作GH⊥EF，垂足為H，連接A₁H，由于A₁G⊥平面EBCF，則A₁G⊥EF，∴EF⊥平面A₁GH，則EF⊥A₁H，圖甲中有EF⊥AH，
又GH⊥EF，則A、G、H三點(diǎn)共線(xiàn)，
設(shè)CF的中點(diǎn)為M，則MF=1，可證△ABG≌△EMF，
∴BG=MF=1，則AG=

10

；
又由△ABG∽△AHE，得A1H=AH=

AB•AE

AG

=

6

10

，
于是，HG=AG-AH=

4

10

，
在Rt△A₁GH中，A1G=

A1H2-HG2

=

( 6 10 )2-( 4 10 )2

=

2

，
作GT∥BE交EF于點(diǎn)T，則TG⊥GC，
以點(diǎn)G為原點(diǎn)，分別以GC、GT、GA₁所在直線(xiàn)為x、y、z軸，建立如圖丙所示的空間直角坐標(biāo)系，
則G（0，0，0），E（-1，1，0），F(xiàn)（2，2，0），A1(0，0，

2

)，
則

EF

=(1，3，0)，

EA1

=(-1，1，

2

)，
∴

GA1

=(0，0，

2

)是平面BEFC的一個(gè)法向量，
設(shè)

n

=(x，y，z)是平面A₁EFD₁的一個(gè)法向量，則

n • EF =x+3y=0 n • EA1 =-x+y+ 2 z=0

，
不妨取y=-1，則x=3，z=2

2

，∴

n

=(3，-1，2

2

)．
設(shè)平面BEFC與平面A₁EFD₁所成二面角為θ，可以看出，θ為銳角，
∴cosθ=|cos＜

n

，

GA1

＞|=

2 2 × 2

2 × 32+(-1)2+(2 2 )2

=

2

3

，
所以，平面BEFC與平面A₁EFD₁所成二面角的余弦值為

2

3

．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握線(xiàn)面平行的判定定理、三角形的相似與全等的判定定理和性質(zhì)定理、通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角求二面角的方法等知識(shí)與方法是解題的關(guān)鍵．