Question

已知函數(shù)，且G（1）=0，G（x）在x=1的切線斜率為0．
（1）求a，b
（2）設(shè)a_n=G′（）+n-2，求證：
（3）若b_n=2af（b_n-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），且b₁=1，c_n=．求證：．

Answer 1

【答案】分析：（1）先得函數(shù)G（x）=f（x）-g（x）=ax-，根據(jù)G（1）=0，G（x）在x=1的切線斜率為0，可得兩方程，從而可求a，b的值；
（2）先求導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)a_n=G′（）+n-2，可得，從而
 n=1，2時(shí)，直接計(jì)算可證；n≥3時(shí)，利用放縮法進(jìn)行證明即可；
（3）根據(jù)b_n=2af（b_n-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），可得b_n=2b_n-1+3cos（nπ）（n≥2），從而可得為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，根據(jù)c_n=，可得，再分n為奇數(shù)，偶數(shù)分類討論進(jìn)行證明即可．
解答：（1）解：G（x）=f（x）-g（x）=ax-
∵G（1）=0，∴a-b=0
∵，G（x）在x=1的切線斜率為0．
∴G′（1）=0
∴a+b=2
∴a=1，b=1
（2）證明：
∵a_n=G′（）+n-2，
∴
∴
 n=1時(shí)，
n=2時(shí)，
n≥3時(shí)，
∴
=
（3）證明：∵b_n=2af（b_n-1）+（a+b+1）cos（nπ）（n≥2），
∴b_n=2b_n-1+3cos（nπ）（n≥2），即：b_n=2b_n-1+3（-1）ⁿ（n≥2），
則   
又
∴為首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列．
∴
∴
∵c_n=
∴
∴=
又2ⁿ＞1
∴2ⁿ2ⁿ⁺¹-2ⁿ+2ⁿ⁺¹-1＞2ⁿ2ⁿ⁺¹
 即：（2ⁿ+1）（2ⁿ⁺¹-1）＞2ⁿ2ⁿ⁺¹
∴
當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，=
=

=
=
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，=
=

=

綜上所述：
點(diǎn)評：本題以函數(shù)為載體，考查數(shù)列與不等式的綜合，考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查放縮法的運(yùn)用，難度較大，尤其（3）問需要較強(qiáng)的思維能力．