Question

下列命題中所有正確的序號是

 

．
①函數f（x）=x²-2x+a在區(qū)間（-2，0）和（2，3）內各有一個零點，則-3＜a＜0；
②已知f（x）=

(2-a)x+1， x＜1 ax， x≥1

對任意x₁≠x₂都有

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，那么實數a的范圍是1＜a＜2；
③用min{a，b，c}表示a，b，c三個數中的最小值．設f（x）=min{2^x，x+2，10-x}（x≥0），則f（x）的最大值為6；
④若函數y=loga(x2-ax+2)在區(qū)間（-∞，1]上為減函數，則a≥2．

Answer 1

考點：命題的真假判斷與應用

專題：數形結合,分類討論,函數的性質及應用

分析：①利用二次函數的圖象與性質和函數零點的存在定理可得；
②根據題意知，f（x）是增函數，從而求出a的取值范圍；
③根據題意，畫出函數y=10-x，y=x+2和y=2^x的圖象，得出f（x）的圖象，得到f（x）的最大值；
④根據題意，設g（x）=x²-ax+2（a＞0，且a≠1），討論a的取值，得出滿足條件的a的取值范圍．

解答： 解：①∵函數f（x）=x²-2x+a在區(qū)間 （-2，0）與（2，3）上各有一個零點，
∴

f(-2)•f(0)＜0 f(2)•f(3)＜0

，
即

a(a+4)＜0 a(a+3)＜0

，
解得-3＜a＜0；
∴命題①正確．
②根據題意知，f（x）是增函數，
∴

2-a＞0 a＞1 a1＞(2-a)×1+1

，
解得

3

2

＜a＜2；
∴命題②不正確．
③根據題意，在同一坐標系中畫出函數y=10-x，y=x+2和y=2^x的圖象，如圖；

y=x+2 與y=2^x交點是A、B，y=x+2與 y=10-x的交點為C（4，6），
由上圖得出f（x）的圖象如下：

C為最高點，且C（4，6），所以f（x）的最大值為6；
∴命題③正確．
④根據題意，設g（x）=x²-ax+2（a＞0，且a≠1），
當a＞1時，g（x）在（-∞，1]上為減函數，
∴

a 2 ≥1 12-a+2＞0

∴2≤a＜3；
當0＜a＜1時，g（x）在（-∞，1]上為減函數，不合題意；
∴2≤a＜3；
∴命題④不正確．
故答案為：①③．

點評：本題考查了函數的概念、圖象、最值、單調性以及零點的問題，也考查了分類討論思想和數形結合的方法，是綜合性題目．