Question

【題目】如圖，已知平面平面，直線平面，且.

（1）求證：平面；

（2）若，平面，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）.

【解析】

（1）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，利用線面垂直的性質(zhì)定理可得出，再由線面平行的判定定理可證得平面；

（2）推導(dǎo)出四邊形為矩形，然后以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用空間向量法可求得二面角的余弦值.

（1）證明：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

因?yàn)槠矫?/span>平面，又平面平面，平面，

所以平面，

又因?yàn)?/span>平面，所以，

因?yàn)?/span>平面，平面，所以平面；

（2）因?yàn)?/span>平面，所以，

由可知，，，則，

所以點(diǎn)是的中點(diǎn)，連接，則，

所以平面，則，，所以四邊形是矩形.

以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以、、所在直線為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則、、、.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

又，.

由，得，取，得.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，

因?yàn)?/span>，.

由，得，取，得；

設(shè)二面角的平面角為，則，

由題知二面角是鈍角，則二面角的余弦值為.