Question

在（x²+x+1）ⁿ=D

0 n

x²ⁿ+D

1 n

x^2n-1+D

2 n

x^2n-2+…+D

2n-1 n

x+D

2n n

（n∈N）的展開式中，把D

0 n

，D

1 n

，D

2 n

，…，D

2n n

叫做三項(xiàng)式的n次系數(shù)列．
（Ⅰ）例如三項(xiàng)式的1次系數(shù)列是1，1，1，填空：
三項(xiàng)式的2次系數(shù)列是

 

；
三項(xiàng)式的3次系數(shù)列是

 

．
（Ⅱ）二項(xiàng)式（a+b）ⁿ（n∈N）的展開式中，系數(shù)可用楊輝三角形數(shù)陣表示，如下

①當(dāng)0≤n≤4，n∈N時(shí)，類似楊輝三角形數(shù)陣表，請(qǐng)列出三項(xiàng)式的n次系數(shù)列的數(shù)陣表；
②由楊輝三角形數(shù)陣表中可得出性質(zhì)：C

n n+1

=C

n n

+C

n-1 n

，類似的請(qǐng)用三項(xiàng)式的n次系數(shù)表示D

k+1 n+1

（1≤k≤2n-1，k∈N）（無須證明）；
（Ⅲ）試用二項(xiàng)式系數(shù)（組合數(shù)）表示D

3 n

．

Answer 1

考點(diǎn)：二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)

專題：綜合題,二項(xiàng)式定理

分析：（Ⅰ）由（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，求得2次系數(shù)列．同理根據(jù)（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，求得3次系數(shù)列．
（Ⅱ）①②如圖所示：根據(jù)三項(xiàng)式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列的定義，可得結(jié)論．
（Ⅲ）根據(jù)三項(xiàng)式的2次系數(shù)列和3次系數(shù)列的定義，再利用組合數(shù)公式的性質(zhì)，可用二項(xiàng)式系數(shù)表示

解答： 解：（Ⅰ）∵（x²+x+1）²=x⁴+x²+1+2x³+2x²+2x=x⁴+2x³+3x²+2x+1，
∴三項(xiàng)式的2次系數(shù)列是1，2，3，2，1；
∵（x²+x+1）³=（x⁴+2x³+3x²+2x+1）（x²+x+1）=x⁶+3x⁵+6x⁴+7x³+6x²+3x+1，
∴三項(xiàng)式的3次系數(shù)列是1，3，6，7，6，3，1．
（Ⅱ）①列出楊輝三角形類似的表（0≤n≤4，n∈N）：
                    1
                 1  1   1
              1  2  3   2 1
            1 3  6  7   6 3  1
          1 4 10 16 19 16 10 4 1
②

D

k+1 n+1

=

D

k-1 n

+D

k n

+D

k+1 n

（ 1≤k≤2 n-1 ）；
（Ⅲ）由（Ⅱ）②可得

D

2 n-1

=1+n-2+

C

2 n-1

=

C

2 n

，
∵

D

1 n-1

=n-1=

C

1 n

-1，
∴由

D

3 n

=

D

1 n-1

+D

2 n-1

+D

3 n-1

得

D

3 n

-

D

3 n-1

=

C

2 n+1

-1
n分別取3，4，…，n代入，累加可得

D

3 n

-

D

3 2

=

C

2 4

+

C

2 5

+

C

2 n+1

-（n-2）=

C

3 n+2

-（n+2），
∵

D

3 2

=2，
∴

D

3 n

=

C

3 n+2

-

C

1 n

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，組合數(shù)的計(jì)算公式的應(yīng)用，屬于中檔題．