Question

求方程x⁵-x³-3x²+3=0的無理根（精確到0.01）.

Answer 1

思路解析：令f(x)=x⁵-x³-3x²+3=x³(x²-1)-3(x²-1)=(x²-1)(x³-3)，顯然方程f(x)=0有兩個有理根x₁=1,x₂=-1，所以方程f(x)=0的無理根就是x³-3=0的根.令g(x)=x³-3，只需求出g(x)的零點.

解：令f(x)=x⁵-x³-3x²+3，則f(x)=(x²-1)(x³-3)，顯然無理根就是x³-3=0的根，令g(x)=x³-3，以下用二分法求函數g(x)的零點.由于g(1)=-2＜0,g(2)=5＞0，故可取(1,2)作為計算的初始區(qū)間，列表如下：

取中點	中點函數值	取區(qū)間
1.5	g(1.5)=0.375＞0	（1，2）
1.25	g(1.25)=-1.047＜0	（1，1.5）
1.375	g(1.375)=-0.400 4＜0	（1.25，1.5）
1.437 5	g(1.437 5)=-0.029 5＜0	（1.437 5，1.5）
1.468 75	g(1.468 75)=0.168 4＞0	（1.437 5，1.468 75）
1.453 125	g(1.453 125)=0.068 4＞0	（1.437 5，1.453 125）
1.445 312 5	g(1.445 312 5)=0.019 2＞0	（1.437 5，1.445 312 5）
1.441 406 25	g(1.441 406 25)=-0.005 3＜0	（1.437 5，1.441 406 25）

由于區(qū)間（1.437 5，1.441 406 25）的兩個端點精確到0.01的近似值都是1.44，所以原方程的無理根是1.44（精確到0.01）.