Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)，的離心率為e=

3

2

，A、B分別為橢圓的長(zhǎng)軸和短軸的端點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且|

OM

|=

5

2

．
（I）求橢圓的方程；
（II）過（-1，0）的直線l與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，求△POQ的面積的最大時(shí)直線l的方程．

Answer 1

分析：（Ⅰ）根據(jù)離心率為e=

3

2

，|

OM

|=

5

2

，建立方程組，求得橢圓的基本量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）方法一：設(shè)交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去y，表示出△POQ的面積，利用基本不等式求得結(jié)論．
方法二：設(shè)交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），分類討論，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，消去x，表示出△POQ的面積，利用基本不等式求得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的半焦距為c，則

a2=b2+c2 a2+b2=5 c a = 3 2

，解得a=2，b=1，c=

3

，
所以橢圓的方程為

x2

4

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）方法一：設(shè)交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-1，則S=

3

2

…（6分）
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x+1）（k≠0），聯(lián)立橢圓方程

x2

4

+y2=1，
得（4k²+1）x²+8k²x+4（k²-1）=0，兩個(gè)根為x₁，x₂，x1+x2=-

8k2

4k2+1

，x1•x2=

4(k2-1)

4k2+1

…（7分）
則|PQ|=

1+k2

|x1-x2|=

1+k2

4 3k2+1

4k2+1

（k≠0），
又原點(diǎn)到直線l的距離d=

|k|

1+k2

，…（8分）
所以S=

1

2

|PQ|•d=

1

2

1+k2

4 3k2+1

4k2+1

|k|

1+k2

=2

(3k2+1)k2

4k2+1

（k≠0）
=2

3k4+k2 16k4+8k2+1

=2

3 16 - 8k2+3 16(16k4+8k2+1)

＜2•

3

4

=

3

2

…（11分）
所以，當(dāng)直線l的方程為x=-1時(shí)，△POQ面積最大．…（12分）
方法二：設(shè)交點(diǎn)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，直線l的方程為x=-1，則S=

3

2

．…（6分）
當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為y=k（x+1）（k≠0），聯(lián)立橢圓方程

x2

4

+y2=1，得(4+

1

k2

)y2-

2

k

y-3=0，兩個(gè)根為y₁，y₂，△＞0恒成立，y1+y2=

2k

4k2+1

，y1•y2=

-3k2

4k2+1

，…（7分）|y1-y2|=

(y1+y2)2-4y1•y2

=4

3k4+k2 16k4+8k2+1

…（8分）
∴S△POQ=S△POT+S△QOT=

1

2

×|OT|×(|y1|+|y2|)=

1

2

×(|y1-y2|)
=

1

2

3- 8k2+3 16k4+8k2+1

＜2•

3

4

=

3

2

…（11分）
所以，當(dāng)直線l的方程為x=-1時(shí)，△POQ面積最大．…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，正確表示三角形的面積是關(guān)鍵．