Question

設(shè)f（x）=x|x|+bx+c（b、c∈R）給出下列四個(gè)命題：
①若c=0，則f（x）為奇函數(shù)；②若c＞0，b=0，則方程f（x）=0只有一個(gè)實(shí)根；
③函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱(chēng)；④關(guān)于x的方程f（x）=0最多有兩個(gè)實(shí)根其中正確的命題有

①②③

（填序號(hào)）．

Answer 1

分析：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題，對(duì)于①、當(dāng)c=0時(shí)，可得f（x）=x|x|+bx，則f（-x）=-x|x|-bx=f（-x），可得f（x）為奇函數(shù)，進(jìn)而可得①正確；對(duì)于②、當(dāng)c＞0，b=0，f（x）=x|x|+c，解x|x|+c=0可得x=-

c

，只有一個(gè)解，可得②正確；對(duì)于③、由函數(shù)圖象變化的規(guī)律，y=f（x）的圖象可由奇函數(shù)f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|得到，由奇函數(shù)的性質(zhì)，可得③正確；對(duì)于④、舉出反例，當(dāng)c=0，b=-1時(shí)，f（x）=0有三個(gè)根，則可以④錯(cuò)誤；即可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，依次分析4個(gè)命題，
對(duì)于①、對(duì)于f（x）=x|x|+bx+c，當(dāng)c=0時(shí)，有f（x）=x|x|+bx，則f（-x）=-x|x|-bx=f（-x），故f（x）為奇函數(shù)，①正確；
對(duì)于②、對(duì)于f（x）=x|x|+bx+c，當(dāng)c＞0，b=0，f（x）=x|x|+c，若x|x|+c=0，解可得x=-

c

，只有一個(gè)解，②正確；
對(duì)于③、由函數(shù)圖象變化的規(guī)律，y=f（x）的圖象可由奇函數(shù)f（x）=x|x|+bx向上或向下移|c|，y=f（x）的圖象與y軸交點(diǎn)為（0，c），故函數(shù)y=f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（0，c）對(duì)稱(chēng)，③正確；
對(duì)于④、對(duì)于f（x），當(dāng)c=0，b=-1時(shí)，f（x）=x|x|-x，f（x）=0有三個(gè)根，分別為0、1、-1，則④錯(cuò)誤；
故答案為①②③．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是命題的真假判斷與應(yīng)用，涉及含絕對(duì)值的函數(shù)性質(zhì)與二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是熟悉函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)．