Question

設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，若對(duì)任意的n∈N^*，有a_n＞0且Sn=

a 3 1 + a 3 2 + a 3 3 +…+ a 3 n

成立．
（1）求a₁、a₂的值；
（2）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列，并寫出其通項(xiàng)公式a_n；
（3）設(shè)數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，令Tn=

Sn

2n

，若對(duì)一切正整數(shù)n，總有T_n≤m，求m的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,等差關(guān)系的確定,數(shù)列遞推式

專題：綜合題

分析：（1）利用遞推關(guān)系式，賦值可求a₁、a₂的值；
（2）利用遞推式，兩邊平方，再寫一式相減，然后再用同樣的方法，可得數(shù)列是等差數(shù)列，從而可求通項(xiàng)公式a_n；
（3）求和，作差，確定數(shù)列{T_n}的最大項(xiàng)，從而可求m的取值范圍．

解答： （1）解：令n=1，則a₁=1，…（2分）
令n=2，則S2=

a 3 1 +a 3 2

=a₁+a₂，∴a₂=2；…（4分）
（2）證明：當(dāng)n≥2時(shí)，

S

2 n

=

a

3 1

+a

3 2

+…+

a

3 n

，

S

2 n-1

=

a

3 1

+a

3 2

+…+

a

3 n-1

，
兩式作差可得

a

3 n

=a_n（S_n+S_n-1），∴

a

2 n

=S_n+S_n-1，…（6分）
同理

a

2 n+1

=S_n+1+S_n，
兩式作差可得

a

2 n+1

-

a

2 n

=a_n+1+a_n，∴a_n+1-a_n=1（n≥2），…（7分）
由（1）可知a₂-a₁=，所以a_n+1-a_n=1對(duì)任意n∈N^*，都成立，…（8分）
所以數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，首項(xiàng)a₁=1，公差為1，所以a_n=n；…（10分）
（3）解：S_n=

n(n+1)

2

，…（11分）
T_n+1-T_n=

(n+1)(n+2)

2n+2

-

n(n+1)

2n+1

=

n+1

2n+2

(2-n)…（12分）
當(dāng)n=1時(shí)，T_n+1-T_n＞0，∴T_n+1＞T_n，
當(dāng)n=2時(shí)，T_n+1-T_n=0，∴T_n+1=T_n，
當(dāng)n≥3時(shí)，T_n+1-T_n＜0，∴T_n+1＜T_n，…（14分）
所以數(shù)列{T_n}的最大項(xiàng)為T₂，…（15分）
因此m≥（T_n）_max=T₂=

3

4

．…（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列遞推式，考查等差數(shù)列的證明，考查恒成立問題，確定數(shù)列的通項(xiàng)，作差確定數(shù)列的最大項(xiàng)是解題的關(guān)鍵．