Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)，R .

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性;

（2）若函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),, 且, 求的取值范圍;

（3）在（2）的條件下, 證明:.

Answer 1

（1）當(dāng)時(shí), 函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí), 函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí), 函數(shù)在上單調(diào)遞增.（2）；（3）證明見解析.

【解析】

試題分析：（1）先求函數(shù)的定義域，再對函數(shù)求導(dǎo)，進(jìn)而令導(dǎo)函數(shù)為零，得到方程，對方程是否有實(shí)數(shù)根進(jìn)行討論，即可得函數(shù)的單調(diào)性；（2）將函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),轉(zhuǎn)化為方程在有兩不等實(shí)根，結(jié)合（1），即可得的取值范圍；（3）先將化簡，再令, ，進(jìn)而可證，即可得.

試題解析：(1)解: 函數(shù)的定義域?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/GZSX/web/STSource/2015062506053806982178/SYS201506250605521328998380_DA/SYS201506250605521328998380_DA.025.png">,

, 1分

令, 得, 其判別式,

① 當(dāng),即時(shí), ,, 此時(shí),在上單調(diào)遞增;

2分

② 當(dāng), 即時(shí), 方程的兩根為,,

3分

若, 則, 則時(shí), , 時(shí), ,

此時(shí), 在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增; 4分

若,則, 則時(shí), ,時(shí), ,

時(shí), ,

此時(shí), 在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增. 5分

綜上所述, 當(dāng)時(shí), 函數(shù)在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), 函數(shù)在上單調(diào)遞增, 在上單調(diào)遞減, 在上單調(diào)遞增;

當(dāng)時(shí), 函數(shù)在上單調(diào)遞增. 6分

(2) 解:由(1)可知, 函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn),,等價(jià)于方程在有

兩不等實(shí)根, 故. 7分

(3) 證明: 由(1), (2)得, , 且, . 8分

, 9分

令, ,

則, 10分

由于, 則, 故在上單調(diào)遞減. 11分

故. 12分

∴. 13分

∴. 14分

考點(diǎn)：1、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性；2、參數(shù)的取值范圍；3、用導(dǎo)數(shù)證明不等式.