Question

（2013•深圳一模）已知函數(shù)f（x）=a^x+x²-xlna-b（a，b∈R，a＞1），e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．
（1）試判斷函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，+∞）上的單調(diào)性；
（2）當(dāng)a=e，b=4時(shí)，求整數(shù)k的值，使得函數(shù)f（x）在區(qū)間（k，k+1）上存在零點(diǎn)；
（3）若存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，試求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)f′（x），由a＞1，x＞0可判斷導(dǎo)數(shù)符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；
（2）求導(dǎo)數(shù)f′（x），根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)區(qū)間及最小值，由零點(diǎn)存在定理及單調(diào)性即可求得符合條件的整數(shù)k；
（3）存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，等價(jià)于當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，|f（x）_max-f（x）_min|=f（x）_max-f（x）_min≥e-1，利用導(dǎo)數(shù)易求函數(shù)f（x）在[-1，1]上的最小值f（0），而f（x）_max=max{f（-1），f（1）}，作差后構(gòu)造函數(shù)可得f（x）_max=f（1），從而有f（1）-f（0）≥e-1，再構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性可求得a的范圍；

解答：解：（1）f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
由于a＞1，故當(dāng)x∈（0，+∞）時(shí)，lna＞0，a^x-1＞0，所以f'（x）＞0，
故函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增．
（2）f（x）=e^x+x²-x-4，∴f′（x）=e^x+2x-1，∴f'（0）=0，
當(dāng)x＞0時(shí)，e^x＞1，∴f'（x）＞0，故f（x）是（0，+∞）上的增函數(shù)；
同理，f（x）是（-∞，0）上的減函數(shù)．
f（0）=-3＜0，f（1）=e-4＜0，f（2）=e²-2＞0，當(dāng)x＞2時(shí)，f（x）＞0，
故當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在（1，2）內(nèi)，∴k=1滿足條件；
f(0)=-3＜0，f(-1)=

1

e

-2＜0，f(-2)=

1

e2

+2＞0，當(dāng)x＜-2時(shí)，f（x）＞0，
故當(dāng)x＜0時(shí)，函數(shù)f（x）的零點(diǎn)在（-2，-1）內(nèi)，∴k=-2滿足條件．
綜上所述，k=1或-2．
（3）f（x）=a^x+x²-xlna-b，存在x₁，x₂∈[-1，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥e-1，
等價(jià)于當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，|f（x）_max-f（x）_min|=f（x）_max-f（x）_min≥e-1，
f'（x）=a^xlna+2x-lna=2x+（a^x-1）lna，
①當(dāng)x＞0時(shí)，由a＞1，可知a^x-1＞0，lna＞0，∴f'（x）＞0；
②當(dāng)x＜0時(shí)，由a＞1，可知 a^x-1＜0，lna＞0，∴f'（x）＜0；
③當(dāng)x=0時(shí)，f'（x）=0．
∴f（x）在[-1，0]上遞減，在[0，1]上遞增，
∴當(dāng)x∈[-1，1]時(shí)，f（x）_min=f（0）=1-b，f（x）_max=max{f（-1），f（1）}，
而f(1)-f(-1)=(a+1-lna-b)-(

1

a

+1+lna-b)=a-

1

a

-2lna，
設(shè)g(t)=t-

1

t

-2lnt(t＞0)，因?yàn)?span id="pq6zpoe" class="MathJye">g′(t)=1+

1

t2

-

2

t

=(

1

t

-1)2≥0（當(dāng)t=1時(shí)取等號(hào)），
∴g(t)=t-

1

t

-2lnt在t∈（0，+∞）上單調(diào)遞增，而g（1）=0，
∴當(dāng)t＞1時(shí)，g（t）＞0，∴當(dāng)a＞1時(shí)，a-

1

a

-2lna＞0，
∴f（1）＞f（-1），∴f（1）-f（0）≥e-1，
∴a-lna≥e-1，即a-lna≥e-lne，
設(shè)h（a）=a-lna（a＞1），則h′(a)=1-

1

a

=

a-1

a

＞0．
∴函數(shù)h（a）=a-lna（a＞1）在（1，+∞）上為增函數(shù)，
∴a≥e，即a的取值范圍是[e，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式證明等知識(shí)，通過(guò)運(yùn)用導(dǎo)數(shù)知識(shí)解決函數(shù)、不等式問(wèn)題，考查考生綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題的能力，同時(shí)也考查函數(shù)與方程思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．