Question

17．已知F₁，F(xiàn)₂是雙曲線E：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)M在E上，MF₁與x軸垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{4}$，則雙曲線E的離心率為（　　）

• A． $\frac{\sqrt{15}}{3}$
• B． $\frac{5}{3}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的定義，結(jié)合直角三角形的勾股定理建立方程關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵M(jìn)F₁與x軸垂直，sin∠MF₂F₁=$\frac{1}{4}$，
∴設(shè)MF₁=m，則MF₂=4m，
由雙曲線的定義得4m-m=2a，即3m=2a，得m=$\frac{2}{3}$a，
在直角三角形MF₂F₁中，16m²-m²=4c²，即15m²=4c²，
即15（$\frac{2}{3}$a）²=4c²，
即5a²=3c²，
則$\sqrt{5}$a=$\sqrt{3}$c，
則e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{15}}{3}$，
故選：A．

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線離心率的計(jì)算，根據(jù)雙曲線的定義結(jié)合直角三角形的勾股定理，結(jié)合雙曲線離心率的定義是解決本題的關(guān)鍵．