Question

（2014•揭陽三模）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)x∈（﹣∞，0]時(shí)，f（x）=e﹣x﹣ex2+a，則函數(shù)f（x）在x=1處的切線方程為（ ）

A.x+y=0 B.ex﹣y+1﹣e=0 C.ex+y﹣1﹣e=0 D.x﹣y=0

 

Answer 1

B

【解析】

試題分析：利用f（0）=0先求出a的值，設(shè)x∈（0，+∞），根據(jù)已知條件求出f（﹣x），再利用奇函數(shù)，求出f（x）在（0，+∞）上的解析式，同時(shí)可求出導(dǎo)函數(shù)；求出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求出該點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)即為切線的斜率，利用點(diǎn)斜式表示出直線方程即可．

【解析】
由題意得，f（0）=1﹣0+a=0，解得a=﹣1，

∴當(dāng)x∈（﹣∞，0]時(shí)，f（x）=e﹣x﹣ex2﹣1，

設(shè)x∈（0，+∞），則﹣x＜0，f（﹣x）=ex﹣ex2﹣1，

∵f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，

∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣ex+ex2+1，此時(shí)x∈（0，+∞），

∴f′（x）=﹣ex+2ex，

∴f′（1）=e，

把x=1代入f（x）=﹣ex+ex2+1得，f（1）=1，則切點(diǎn)為（1，1），

∴所求的切線方程為：y﹣1=e（x﹣1），化簡得ex﹣y﹣e+1=0，

故選B．