Question

【題目】記無窮數(shù)列的前n項中最大值為，最小值為，令，數(shù)列的前n項和為，數(shù)列的前n項和為．

（1）若數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，求；

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，試問數(shù)列是否也一定是等差數(shù)列？若是，請證明；若不是，請舉例說明；

（3）若，求．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3），

【解析】

（1）由題意求得和，即得，利用等比數(shù)列求和公式可得結(jié)果.

（2）若“數(shù)列{bn}是等差數(shù)列”，設(shè)其公差為d′，bn+1﹣bnd′，根據(jù)定義，Mn+1≥Mn，mn+1≤mn，至少有一個取等號，當(dāng)d′＞0時，Mn+1＞Mn，an+1＝Mn+1＞Mn≥an，即數(shù)列{an}為增數(shù)列，則Mn＝an，mn＝a1，進(jìn)而得出．同理可得d′＜0時，“數(shù)列{an}是等差數(shù)列”；當(dāng)d′＝0時，Mn+1＝Mn，且mn+1＝mn，故{an}為常數(shù)列，是等差數(shù)列．

（3）由題意可得，根據(jù)定義可以分析得到當(dāng)時，，即得；同理可得時，．，

所以當(dāng)時，， 得到 可得，求得

；當(dāng)時， 得到，求得，分段寫出結(jié)果即可.

（1）∵數(shù)列是首項為2，公比為2的等比數(shù)列，∴，∴，

則，∴

（2）若數(shù)列是等差數(shù)列，設(shè)其公差為

∵

根據(jù)，的定義，有以下結(jié)論：

，，且兩個不等式中至少有一個取等號，

①若，則必有，∴，即對，，都有

∴，，

∴，即為等差數(shù)列；

②當(dāng)時，則必有，所以，即對，，都有

∴，，

所以，即為等差數(shù)列；

③當(dāng)，

∵，中必有一個為0，∴根據(jù)上式，一個為0，則另一個亦為0，

即，，∴為常數(shù)數(shù)列，所以為等差數(shù)列，

綜上，數(shù)列也一定是等差數(shù)列．

（3）∵，

∴當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即．

以下證明：，

當(dāng)時，

若，則，，所以，不合題意；

若，則，，則，得：，與矛盾，不合題意；

∴，即；

同理可證：，即，時，．

①當(dāng)時，， ∴ ∴，

∵ ∴

∴

②當(dāng)時，，且

∴，則為或．若為，則為常數(shù)，與題意不符，∴ ∴ ∴

∴ ，

∴，.