Question

已知a、b為正數(shù)，若

a

+1＞

b

，求證：對(duì)于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+

x

x-1

＞b成立．

Answer 1

分析：欲使恒有ax+

x

x-1

＞b成立，只須b小于左式的最小值即可，故先利用基本不等式求出此左式的最小值即可．

解答：證明：ax+

x

x-1

=a（x-1）+

1

x-1

+1+a≥2

a

+1+a=（

a

+1）²．
∵

a

+1＞b（b＞0），
∴（

a

+1）²＞b．
∴恒有ax+

x

x-1

＞b成立．

點(diǎn)評(píng)：從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法．條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除．