Question

已知a、b為正數(shù)，若對(duì)于任何大于1的正數(shù)x，恒有ax+＞b成立，求證：+1＞．

Answer 1

【答案】分析：題目中條件恒成立，先轉(zhuǎn)化為b小于左式的最小值即可，故先求左式ax+的最小值，據(jù)此即可證得．
解答：證：∵ax+＞b對(duì)于大于1的實(shí)數(shù)x恒成立，即x＞1時(shí)，[ax+]_min＞b，
而ax+=a（x-1）++1+a≥2+1+a=（+1）²，
當(dāng)且僅當(dāng)a（x-1）=，即x=1+＞1時(shí)取等號(hào)．
故[ax+]_min=（+1）²．
則（+1）²＞b，即+1＞b．
點(diǎn)評(píng)：條件如何利用取決于要證明的不等式兩端的差異如何消除．從已知條件出發(fā)，利用定義、公理、定理、某些已經(jīng)證明過(guò)的不等式及不等式的性質(zhì)經(jīng)過(guò)一系列的推理、論證等而推導(dǎo)出所要證明的不等式，這個(gè)證明方法叫綜合法．