Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和．
（1）求{a_n}的通項公式；
（2）若對于任意的n∈N^*，有k•a_n≥4n+1成立，求實數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵，n∈N^*，
∴，
解得a₁=3．
∵，n∈N^*，
∴．
兩式相減，得a_n+1=，
∴a_n+1=3a_n，
∴{a_n}是首項為3，公比為3的等比數(shù)列，
從而{a_n}的通項公式是a_n=3ⁿ，n∈N^*．
（2）由（1）知，對于任意的n∈N^*，有k•a_n≥4n+1成立，
等價于對任意的n∈N^*成立，
等價于，
而==＜1，n∈N₊，
∴是單調(diào)減數(shù)列，
∴，
∴實數(shù)k的取值范圍是．
分析：（1）由，n∈N^*，知a₁=3，．所以a_n+1=，即a_n+1=3a_n，由此能求出{a_n}的通項公式．
（2）對于任意的n∈N^*，有k•a_n≥4n+1成立，等價于，因為是單調(diào)減數(shù)列，所以，由此能求出實數(shù)k的取值范圍．
點評：本題考查數(shù)列與不等式的綜合，解題時要認真審題，注意挖掘題設(shè)中的隱條件，合理地進行等價轉(zhuǎn)化．