Question

（2013•靜安區(qū)一模）已知f（x）=log

1

2

x，當(dāng)點(diǎn)M（x，y）在y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N（x-2，ny）在函數(shù)y=g_n（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)（n∈N^*）．
（1）求y=g_n（x）的表達(dá)式；
（2）若方程g₁（x）=g₂（x-2+a）有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè)Hn(x)=2gn(x)，函數(shù)F（x）=H₁（x）+g₁（x）（0＜a≤x≤b）的值域?yàn)?span id="16pnhct" class="MathJye">[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)點(diǎn)M（x，y）在y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)可得y=log₂x，點(diǎn)N（x-2，ny）函數(shù)y=g_n（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)可得 g_n（x-2）=ny故 g_n（x-2）=nlog₂x（x＞0）再用x+2代x即可求出y=g_n（x）的表達(dá)式．
（2）由（1）可得要使關(guān)于x的方程 g₁（x）=g₂（x-2+a）有實(shí)根，a∈R，可得：（x+2）²=x+a在x＞-2有實(shí)根即a=（x+2）²-x在x＞-2有實(shí)根即只需求出（x+2）²-x在x＞-2的范圍即為a的范圍．
（3）由（1）可得F（x）=

1

x+2

+log 

1

2

（x+2）（x＞-2）再根據(jù)）

1

x+2

和log 

1

2

（x+2）的單調(diào)性得出F（x）的單調(diào)性，從而可求出F（x）在[a．b]的值域再利用值域?yàn)?span id="f84pyd0" class="MathJye">[log2

5 2

b+2

，log2

4 2

a+2

]可列出等式求出a，b的值．

解答：解：（1）由

y=f(x) ny=gn(x-2)

，
得gn(x-2)=nf(x)=nlog

1

2

x，
所以gn(x)=nlog

1

2

(x+2)，（x＞-2）．（4分）
（2）log

1

2

(x+2)=2log

1

2

(x+a)，
即

x+2

=x+a（x+2＞0）（6分）
a=-x+

x+2

，令t=

x+2

＞0，
所以a=-t2+t+2≤

9

4

，
當(dāng)x=-

7

4

時(shí)，a=

9

4

．
即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(-∞，

9

4

]（10分）
（3）因?yàn)?span id="7yr9uag" class="MathJye">Hn(x)=2nlog

1

2

(x+2)=

1

(x+2)n

，
所以F(x)=

1

x+2

+log

1

2

(x+2)．F（x）在（-2，+∞）上是減函數(shù)．（12分）
所以

F(a)=log2 4 2 a+2 F(b)=log2 5 2 b+2

即

1 a+2 +log 1 2 (a+2)=log2 4 2 a+2 1 b+2 +log 1 2 (b+2)=log2 5 2 b+2

，
所以

a=2 b=3

（16分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了求函數(shù)的解析式以及求利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的值域．解題的關(guān)鍵是首先要利用點(diǎn)M點(diǎn)N所滿足的關(guān)系式求出y=g_n（x）的表達(dá)式（這種方法也叫相關(guān)點(diǎn)法求函數(shù)的解析式）然后作為橋梁再求解第二問(wèn)，而對(duì)于第二問(wèn)要求a的范圍常采用將a解出來(lái)轉(zhuǎn)化為球已知函數(shù)的值域問(wèn)題．第三問(wèn)是在第一問(wèn)的基礎(chǔ)上求出F（x）然后利用其單調(diào)性求其值域．因此第一問(wèn)為下面兩問(wèn)做了鋪墊股第一問(wèn)的正確解答就顯得尤為重要了！