Question

【題目】已知函數f(x)＝x－lnx，g(x)＝x2－ax.

（1）求函數f(x)在區(qū)間[t，t＋1](t＞0)上的最小值m(t)；

（2）令h(x)＝g(x)－f(x)，A(x1，h(x1))，B(x2，h(x2))(x1≠x2)是函數h(x)圖像上任意兩點，且滿足＞1，求實數a的取值范圍；

（3）若x∈(0,1]，使f(x)≥成立，求實數a的最大值．

Answer 1

【答案】（1）m(t)＝（2）a≤2－2.（3）a≤2－2.

【解析】

（1）是研究在動區(qū)間上的最值問題，這類問題的研究方法就是通過討論函數的極值點與所研究的區(qū)間的大小關系來進行求解．

（2）注意到函數h(x)的圖像上任意不同兩點A，B連線的斜率總大于1，等價于h(x1)－h(x2)＜x1－x2(x1＜x2)恒成立，從而構造函數F(x)＝h(x)－x在(0，＋∞)上單調遞增，進而等價于F′(x)≥0在(0，＋∞)上恒成立來加以研究．

（3）用處理恒成立問題來處理有解問題，先分離變量轉化為求對應函數的最值，得到a≤，再利用導數求函數M(x)＝的最大值，這要用到二次求導，才可確定函數單調性，進而確定函數最值．

（1） f′(x)＝1－，x＞0，

令f′(x)＝0，則x＝1.

當t≥1時，f(x)在[t，t＋1]上單調遞增，f(x)的最小值為f(t)＝t－lnt；

當0＜t＜1時，f(x)在區(qū)間(t,1)上為減函數，在區(qū)間(1，t＋1)上為增函數，f(x)的最小值為f(1)＝1.

綜上，m(t)＝

（2）h(x)＝x2－(a＋1)x＋lnx，

不妨取0＜x1＜x2，則x1－x2＜0，

則由，可得h(x1)－h(x2)＜x1－x2，

變形得h(x1)－x1＜h(x2)－x2恒成立．

令F(x)＝h(x)－x＝x2－(a＋2)x＋lnx，x＞0，

則F(x)＝x2－(a＋2)x＋lnx在(0，＋∞)上單調遞增，

故F′(x)＝2x－(a＋2)＋≥0在(0，＋∞)上恒成立，

所以2x＋≥a＋2在(0，＋∞)上恒成立．

因為2x＋≥2，當且僅當x＝時取“＝”，

所以a≤2－2.

（3）因為f(x)≥，所以a(x＋1)≤2x2－xlnx.

因為x∈(0,1]，則x＋1∈(1,2]，所以x∈(0,1]，使得a≤成立．

令M(x)＝，則M′(x)＝.

令y＝2x2＋3x－lnx－1，則由y′＝＝0 可得x＝或x＝－1(舍)．

當x∈時，y′＜0，則函數y＝2x2＋3x－lnx－1在上單調遞減；

當x∈時，y′＞0，則函數y＝2x2＋3x－lnx－1在上單調遞增．

所以y≥ln4－＞0，

所以M′(x)＞0在x∈(0,1]時恒成立，

所以M(x)在(0,1]上單調遞增．

所以只需a≤M(1)，即a≤1.

所以實數a的最大值為1.