Question

16．若z=mx+y在平面區(qū)域$\left\{\begin{array}{l}2x-y≥0\\ 2y-x≥0\\ x+y-3≤0\end{array}\right.$上取得最小值時(shí)的最優(yōu)解不唯一，則z的最大值是（　�。�

• A． -3
• B． 0
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{3}{2}$

Answer 1

分析 由題意z=mx+y在平面區(qū)域最小值時(shí)的最優(yōu)解不唯一，可知mx+y=0直線與2y-x=0直線平行．可得m=-$\frac{1}{2}$，利用數(shù)形結(jié)合即可得z的最大值．

解答 解：作出不等式組對應(yīng)的平面區(qū)域，
z=mx+y在平面區(qū)域最小值時(shí)的最優(yōu)解不唯一，
可知mx+y=0直線與2y-x=0直線平行．
可得m=-$\frac{1}{2}$，
那么z=$-\frac{1}{2}$x+y．
則直線y=$\frac{1}{2}x+z$．如圖，平移直線y=$\frac{1}{2}x+z$，
由圖象可知當(dāng)直線y=$\frac{1}{2}x+z$經(jīng)過點(diǎn)A（1，2）時(shí)，直線y=$\frac{1}{2}x+z$的截距最大，
此時(shí)z最大，z_max=$-\frac{1}{2}×1+2$=$\frac{3}{2}$．
故選D．

點(diǎn)評 本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用z的幾何意義，通過數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵．