Question

已知一元二次不等式（a-2）x²+2

b-1

x+1＞0的解集為R，若a≤4，則

a-2b

a+b

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用,不等式的解法及應(yīng)用

分析：結(jié)合讓式子有意義的原則，及二次不等式恒成立的條件，可得到關(guān)于a，b的不等式組，畫出對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域，可將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問(wèn)題．

解答： 解：若一元二次不等式（a-2）x²+2

b-1

x+1＞0的解集為R，
則

a-2＞0 △=4(b-1)-4(a-2)＜0

即

a＞2 a-b＞1

又由a≤4，b≥1可得滿足條件的平面區(qū)域如下圖所示：

令k=

b

a

，則k表示平面上一動(dòng)點(diǎn)（a，b）與原點(diǎn)連線的斜率，
由圖可知k∈[

1

4

，

3

4

）
∵

a-2b

a+b

=

1-2k

1+k

∵f（k）=

1-2k

1+k

在[

1

4

，

3

4

）為減函數(shù)，且f（

1

4

）=

2

5

，f（

3

4

）=-

2

7

故

a-2b

a+b

的取值范圍是：（-

2

7

，

2

5

]
故答案為：（-

2

7

，

2

5

]

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次不等式恒成立，線性規(guī)劃，斜率的幾何意義，綜合性強(qiáng)，難度較大．