Question

已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c也成等差數(shù)列，判斷△ABC的形狀．

Answer 1

考點(diǎn)：三角形的形狀判斷

專題：解三角形

分析：依題意，易求B=

π

3

，A+C=

2π

3

，2b=a+c，利用正弦定理可得sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

，繼而有sin（A+

π

6

）=1，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)可求得A，從而可判斷該三角形的形狀．

解答： 解：∵A，B，C成等差數(shù)列，又A+B+C=π，
∴B=

π

3

，A+C=

2π

3

，
∵a，b，c也稱等差數(shù)列，
∴2b=a+c，
在三角形ABC中，由正弦定理得：sinA+sinC=2sinB=

3

，
即sinA+sin（

2π

3

-A）=

3

，
∴

3

2

sinA+

3

2

cosA=

3

，即sin（A+

π

6

）=1，
∵0＜A＜

2π

3

，∴

π

6

＜A+

π

6

＜

5π

6

，
∴A+

π

6

=

π

2

，∴A=

π

3

，C=

π

3

，
∴△ABC為等邊三角形．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形形狀的判斷，著重考查正弦定理與兩角差的正弦的應(yīng)用，考查正弦函數(shù)的單調(diào)性質(zhì)與最值，屬于中檔題．