Question

16．已知正項等比數列{a_n}滿足：a₈-a₇-2a₆=0，若存在兩項a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₂，則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 1

Answer 1

分析 設正項等比數列{a_n}的公比為q：由a₈-a₇-2a₆=0，化為q²-q-2=0，q＞0．解得q．存在兩項a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₂，化為：m+n=8，再利用基本不等式的性質即可得出．

解答 解：設正項等比數列{a_n}的公比為q：∵a₈-a₇-2a₆=0，
∴${a}_{6}{q}^{2}-{a}_{6}q-2{a}_{6}$=0，
化為q²-q-2=0，q＞0．
解得q=2，
∵存在兩項a_m，a_n，使得$\sqrt{{a}_{m}{a}_{n}}$=4a₂，
∴$\sqrt{{a}_{1}^{2}{q}^{m+n-2}}$=4a₁q，q=2．
化為：m+n=8，
則$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$=$\frac{1}{8}（m+n）$$（\frac{1}{m}+\frac{9}{n}）$=$\frac{1}{8}$$（10+\frac{n}{m}+\frac{9m}{n}）$≥$\frac{1}{8}$（10+2$\sqrt{\frac{n}{m}•\frac{9m}{n}}$）=2，當且僅當n=3m=6時取等號．
∴$\frac{1}{m}$+$\frac{9}{n}$的最小值為2．
故選：A．

點評 本題考查了等比數列的通項公式、指數冪的運算性質、基本不等式的性質，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．