Question

（2013•德州二模）四棱柱ABCD-A₁B_lC_lD₁的直觀圖和三視圖如下圖所示，其正（主）視圖、側(cè)（左）視圖為矩形，俯視圖為直角梯形．
（I）求證：BC⊥平面A₁AC；
（Ⅱ）若異面直線A₁D與BC所成的角為60°，求二面角A-A₁C-D的大小．

Answer 1

分析：（I）由題意，可先證BC與平面A₁AC中兩個相交線垂直，再由線面垂直的判定定理即可得出所要證的結(jié)論；
（II）考查本題的圖形，存在同一點出發(fā)的三個兩兩垂直的線段，故可建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角A-A₁C-D的大小．

解答：解：（I）由題知A₁A⊥平面ABCD，所以A₁A⊥BC，
取AB的中點E，連接CE，DE，易證得BE∥CD，且BE=CD，所以四邊形ABCD為直角梯形，AB⊥DA，
又因為AB=2DC，AB∥DC，所以AB⊥CE，且AB=2CE，
所以平行四邊形ADCE是正方形，
因此DE⊥AC，所以BC⊥AC，
因為AA₁∩AC=A，
所以BC⊥平面A₁AC
（II）由（I）知AD，AB，AA₁兩兩垂直，故分別以AD，AB，AA₁所在方向為X軸，Y軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，且DC=1，設(shè)（0，0，z）（z＞0），
則由題設(shè)條件知A（0，0，0），B（0，2，0），C（1，1，0），D（1，0，0）
∴

A1C

=（1，1，-z），

A1D

=（1，0，-z），

BC

=（1，-1，0），
因為異面直線A₁D與BC所成的角為60°，
所以|cos＜

BC

，

A1D

＞|=

A1D • BC

| A1D || BC |

=

1

2

，解得z=1
設(shè)

m

=（a，b，c）為平面A₁DC的一個法向量，則

m • A1C =0 m • A1D =0

，即

a-c=0 a+b-c=0

，解得b=0
設(shè)a=1，則c=1，所以

m

=（1，0，1）
由（I）知

BC

=（1，-1，0）為平面A₁AC的一個法向量，
∴cos＜

m

，

BC

＞=

m • BC

| m || BC |

=

1×1-1×0+0×1

2 × 2

=

1

2

由圖知二面角A-A₁C-D為銳角
所以二面角A-A₁C-D的大小為60°

點評：本題考查利用空間向量求二面角及線面垂直的證明，空間向量是解決立體幾何中線面位置關(guān)系及求空間角的重要工具，熟練掌握空間向量的運算與空間圖形的位置關(guān)系的對應(yīng)是解答此類題的關(guān)鍵，解題中要注意總結(jié)空間向量在幾何問題中的使用規(guī)律，靈活運用空間向量的知識解答立體幾何中的疑難題．