Question

已知函數(shù)．

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的圖象在處的切線方程；

（Ⅱ）判斷函數(shù)的單調(diào)性；

（Ⅲ）求證：（）．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）.（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．（Ⅲ）見解析

【解析】(I)當(dāng)a=2時(shí)，先求出的值，即切線的斜率，然后寫出點(diǎn)斜式方程，再化成一般式即可.

(II)先求導(dǎo)，可得,然后再對(duì)和a<0兩種情況進(jìn)行討論研究其單調(diào)性.

(III) 由（Ⅱ）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．

∴　當(dāng)時(shí)，，即

然后解本題的關(guān)鍵是令（），則,

又因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012082415403230302525/SYS201208241541075391132432_DA.files/image019.png">，即,從而問(wèn)題得證

（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，，

∴，1分∴ ，所以所求的切線的斜率為3. 2分

又∵，所以切點(diǎn)為.3分故所求的切線方程為：.4分

（Ⅱ）∵，∴．①當(dāng)時(shí)，∵，∴；②當(dāng)時(shí)，由，得；由，得；綜上，當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．···· 8分

（Ⅲ）方法一：由（Ⅱ）可知，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增．∴　當(dāng)時(shí)，，即．···························· 10分

令（），則．··············· 11分

另一方面，∵，即,∴　．∴　（）．

方法二：構(gòu)造函數(shù)，············· 9分

∴，··················· 10分

∴當(dāng)時(shí),；∴函數(shù)在單調(diào)遞增．∴函數(shù) ，即∴，，即2分

令（），則有