Question

已知f（x）=x²，g（x）=（

1

2

）^x-m，若對(duì)任意x∈[0，2]，恒有f（x）≥g（x），則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,函數(shù)恒成立問(wèn)題

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：由已知條件得不等式x2≥(

1

2

)x-m對(duì)于任意x∈[0，2]恒成立，即：m≥(

1

2

)x-x2對(duì)于任意x∈[0，2]恒成立，所以只要讓m大于等于(

1

2

)x-x2的最大值即可，所以根據(jù)導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)(

1

2

)x-x2在[0，2]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性求最大值即可．

解答： 解：由已知條件得：x2≥(

1

2

)x-m；
∴m≥(

1

2

)x-x2；
∴只需m≥((

1

2

)x-x2)max；
令h（x）=(

1

2

)x-x2，h′（x）=(

1

2

)xln

1

2

-2x；
令φ（x）=(

1

2

)xln

1

2

-2x，φ′（x）=(

1

2

)xln2

1

2

-2＜0；
∴φ（x）在[0，2]上是減函數(shù)；
∴φ（x）≤φ（0）=ln2

1

2

-2＜0；
∴h′（x）＜0，∴函數(shù)h（x）在[0，2]上是減函數(shù)；
∴h（0）=1是h（x）在[0，2]上的最大值；
∴m≥1；
∴m的取值范圍是[1，+∞）．
故答案為：[1，+∞）．

點(diǎn)評(píng)：考查根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性的方法，掌握這種通過(guò)求函數(shù)的最值求m的取值的方法．