Question

已知y=log

1

2

[a^2x+2（ab）^x-b^2x+1]（a、b∈R⁺），如何求使y為負值的x的取值范圍？

Answer 1

分析：要使y＜0，必須a^2x+2（ab）^x-b^2x+1＞1，即a^2x+2（ab）^x-b^2x＞0．推導出（

a

b

）^x＞

2

-1或（

a

b

）^x＜-

2

-1（舍去）后，再分

a

b

＞1，

a

b

=1，

a

b

＜1三種情況進行討論，從而求出使y為負值的x的取值范圍．

解答：解：要使y＜0，必須a^2x+2（ab）^x-b^2x+1＞1，即a^2x+2（ab）^x-b^2x＞0
∵b^2x＞0
∴（

a

b

）^2x+2（

a

b

）^x-1＞0
∴（

a

b

）^x＞

2

-1或（

a

b

）^x＜-

2

-1（舍去）
∵a、b∈R⁺，∴

a

b

＞0．
當

a

b

＞1時，即a＞b＞0時，x＞log

a

b

（

2

-1）．
當

a

b

=1時，即a=b＞0時，x∈R．
當

a

b

＜1時，即0＜a＜b時，x＜log

a

b

（

2

-1）
故當a＞b＞0時，x＞log

a

b

（

2

-1）；當a=b＞0時，x∈R；當0＜a＜b時，x＜log

a

b

（

2

-1）．

點評：本題是求對數(shù)函數(shù)取負值時x的取值范圍，解題要根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)進行合理轉(zhuǎn)化，然后再分情況進行討論．