Question

五位同學(xué)圍成一圈依次循環(huán)報數(shù)，規(guī)定①第一位同學(xué)首次報出的數(shù)為1，第二位同學(xué)首次報出的數(shù)也為1，之后每位同學(xué)所報出的數(shù)都是前兩位同學(xué)報出的數(shù)之和，②若報出的數(shù)為3的倍數(shù)，則報該數(shù)的同學(xué)需拍手1次．已知甲同學(xué)第一個報數(shù)．當(dāng)五位同學(xué)依次循環(huán)報到第100個數(shù)時，甲同學(xué)拍手的總次數(shù)為________．

Answer 1

5
分析：先根據(jù)題意可確定5位同學(xué)所報數(shù)值為雯波那契數(shù)列，然后可找到甲所報的數(shù)的規(guī)律，進(jìn)而可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列的知識來解題．
解答：由題意可知：
（1）將每位同學(xué)所報的數(shù)排列起來，即是“雯波那契數(shù)列”：
1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，…
（2）該數(shù)列的一個規(guī)律是，第4，8，12，16，…4n項均是3的倍數(shù)．
（3）甲同學(xué)報數(shù)的序數(shù)是1，6，11，16，…，5m-4．
（4）．問題可化為求數(shù)列{4n}與{5m-4}的共同部分?jǐn)?shù)，
易知，當(dāng)m=4k，n=5k-4時，5m-4=20k-4=4n，又1＜4n≤100，
∴20k-4＜100．∴k≤5
∴甲拍手的總次數(shù)為5次．即第16，36，56，76，96次報數(shù)時拍手．
故答案為：5
點(diǎn)評：本題主要考查雯波那契數(shù)列、等差數(shù)列的知識．?dāng)?shù)列是高考的重點(diǎn)，每年必考，一定要強(qiáng)化復(fù)習(xí)并且還要靈活運(yùn)用．