Question

已知函數(shù)f（x）=a₁sin（ωx+φ₁）+a₂sin（ωx+φ₂）+…+a_ksin（ωx+φ_k），（a_i∈R，i=1，2，3，…k）
．若f²（0）+f²（

π

2ω

）≠0，且函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

2

，0）對(duì)稱，并在x=π處取得最小值，則正實(shí)數(shù)ω的值構(gòu)成的集合是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：首先把函數(shù)f（x）轉(zhuǎn)化成f（x）=msinωx+ncosωx=

m2+n2

sin(ωx+φ)進(jìn)一步利用函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

2

，0）對(duì)稱，求出

π

2

ω+φ=kπ(k∈Z)，在x=π處取得最小值，πω+φ=2n+

3π

2

，最后求
ω=2k+1

解答： 解：函數(shù)f（x）=a₁sin（ωx+φ₁）+a₂sin（ωx+φ₂）+…+a_ksin（ωx+φ_k）=a₁（sinωxcosΦ₁+cosωxsinΦ₁）+a₂（sinωxcosΦ₂+cosωxsinΦ₂）+…+a_n（sinωxcosΦ_n+cosωxsinΦ_n=sinωx（a₁cosφ₁+…+a_ncosφ_n）+cosωx（a₁sinφ₁+…+a_nsinφ_n）
由于f²（0）+f²（

π

2ω

）≠0
所以：a₁cosφ₁+…+a_ncosφ_n=0與a₁sinφ₁+…+a_nsinφ_n=0不能同時(shí)成立．
故設(shè)a₁cosφ₁+…+a_ncosφ_n=m，a₁sinφ₁+…+a_nsinφ_n=n
則：f（x）=msinωx+ncosωx=

m2+n2

sin(ωx+φ)（m²+n²≠0）
函數(shù)f（x）的圖象關(guān)于點(diǎn)（

π

2

，0）對(duì)稱
由于sin(

π

2

ω+φ)=0 

π

2

ω+φ=kπ(k∈Z)①
在x=π處取得最小值，
sin（πω+φ）=-1  πω+φ=2n+

3π

2

（n∈Z）②
由①②得：ω=（4n-2k）+3
由于n、k為整數(shù)，所以4n-2k為偶數(shù)．
ω=2k+1（k∈Z）
故答案為：{ω|ω=2k+1（k∈Z）}

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：函數(shù)的恒等變換，對(duì)稱性和最值在正弦型函數(shù)中的應(yīng)用．