Question

已知四棱錐P-ABCD的底面是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠ABC=60°，PA=PC=2，PB=PD．
（Ⅰ）若O是AC與BD的交點(diǎn)，求證：PO⊥平面ABCD；
（Ⅱ）若點(diǎn)M是PD的中點(diǎn)，求異面直線AD與CM所成角的余弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）連接AC與BD交于點(diǎn)O，連OP．根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)可得PO⊥AC，PO⊥BD，再由線面垂直的判定定理即可得到答案．
（II）取PA的中點(diǎn)N，連接MN，由三角形中位線定理可得MN∥AD，則∠NMC就是異面直線AD與CM所成角，解三角形NMC即可得到異面直線AD與CM所成角的余弦值．

解答：證明：（Ⅰ）連接AC與BD交于點(diǎn)O，連OP．
∵PA=PC，PD=PB，且O是AC和BD的中點(diǎn)，
∴PO⊥AC，PO⊥BD
∴PO⊥平面ABCD．
解：（Ⅱ）取PA的中點(diǎn)N，連接MN，則MN∥AD，
則∠NMC就是所求的角，
根據(jù)題意得MN=1，NC=

3

，PD=

6

所以，MC=

PC2-PM2

=

4- 6 4

=

10

2

故  cos∠NMC=

MN2+MC2-NC2

2MN•MC

=

10

20

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是異面直線及其所成的角，直線與平面垂直的判定，其中（I）的關(guān)鍵是添加輔助線，利用等腰三角形的性質(zhì)得到線線垂直，為線面垂直的判定準(zhǔn)備條件，（II）的關(guān)鍵是得到∠NMC就是異面直線AD與CM所成角，進(jìn)而將異面直線的夾角轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題．