Question

P、Q是海上的兩個燈塔，從海圖上可測知，以PQ為弦，含圓周角為45°的弓形弧內是危險區(qū)，內有許多暗礁。一海輪開始時，見到兩個燈塔都在它的北60°東。海輪向東行駛一段距離后，見燈塔P恰在它的正北方向，燈塔Q在它的北m°東()，問海輪繼續(xù)向東航行是否有觸礁的危險？

Answer 1

答案：
解析：

解］如下圖所示，設⊙O是含弦PQ的圓，且ÐPOQ=2´45°=90°，開始時，船在A點，正東方向為AT，ÐPAT=90°-60°=30°，海輪向東行駛一段距離后到達B點，恰位于點P的正南方，有PB^AT，ÐPBQ=m°。 作OC^PQ于點C，反向延長OC交AT于點D，作OM^AT于點M。 令AP=2a，PQ=2b，則PB=a，PC=CQ=CO=b。 在DPQB中，由正弦定理得， 所以 又由余弦定理得BQ2=PQ2+PB2-2PQ×PB×cos120°，即 解之得：a=3b或a=-5b(舍去) 所以，a=3b，AC=AP+PC=2a+b=7b， 所以，，而，故OM>OP。 這說明⊙O與直線AT不相交，從而海輪不會有觸礁的危險。