已知f(x)=
4+
1
x2
，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點Pn（an，
1
an+1
）（n∈N*）在曲線y=f（x）上，且a1=1，an＞0．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式an；
（2）數(shù)列{bn}的首項b1=1，前n項和為Tn，且
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3，求數(shù)列{bn}的通項公式bn．
（1）由題意知
1
an+1
=
4+
1
an2
．
∴
1
an+12
=4+
1
an2
．
∴
1
an+12
-
1
an2
=4，即{
1
an2
}是等差數(shù)列．
∴
1
an2
=
1
a12
+4（n-1）=1+4n-4=4n-3．
∴an2=
1
4n-3
．
又∵an＞0，
∴an=
1
4n-3
．
（2）由題設知（4n-3）Tn+1=（4n+1）Tn+（4n+1）（4n-3）．
∴
Tn+1
4n+1
-
Tn
4n-3
=1．
設
Tn
4n-3
=cn，則上式變?yōu)閏n+1-cn=1．
∴{cn}是等差數(shù)列．
∴cn=c1+n-1=
T1
1
+n-1=b1+n-1=n．
∴
Tn
4n-3
=n，即Tn=n（4n-3）=4n2-3n．
∴當n=1時，bn=T1=1；
當n≥2時，bn=Tn-Tn-1=4n2-3n-4（n-1）2+3（n-1）=8n-7．
經(jīng)驗證n=1時也適合上式．
∴bn=8n-7（n∈N*）．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=
2x-1  ，(x≥2)
-x2+3x ，(x＜2)
，則f（-1）+f（4）的值為（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（2013•樂山二模）已知f(x)=-
4+
1
x2
，點Pn(an，-
1
an+1
)在曲線y=f（x）上（n∈N*）且a1=1，an＞0．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{
1
a
2
n
}為等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項公式；
（Ⅱ）設數(shù)列{
a
2
n
•
a
2
n+1
}的前n項和為Sn，若對于任意的n∈N*，存在正整數(shù)t，使得Sn＜t2-t-
1
2
恒成立，求最小正整數(shù)t的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知tan(x+
π
4
)=
1+tanx
1-tanx
(x≠kπ+
π
4
)，那么函數(shù)y=tanx的周期為π．類比可推出：已知x∈R且f(x+π)=
1+f(x)
1-f(x)
，那么函數(shù)y=f（x）的周期是（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=
4•2010x+2
2010x+1
+xcosx(-1≤x≤1)，設函數(shù)f（x）的最大值是M，最小值是N，則（　�。�

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知f(x)=-
4+
1
x2
，數(shù)列{an}的前n項和為Sn，點Pn(an，-
1
an+1
)在曲線y=f（x）上（n∈N*），且a1=1，an＞0．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）數(shù)列{bn]的前n項和為Tn，且滿足
Tn+1
an2
=
Tn
an+12
+16n2-8n-3，b1=1，求證：數(shù)列{
Tn
4n-3
}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{bn]的通項公式．

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