Question

已知AA₁⊥平面ABC，AB=BC=AA₁=CA，P為A₁B上的點．
（1）當(dāng)

A1P

PB

為何值時，AB⊥PC；
（2）當(dāng)二面角P-AC-B的大小為

π

3

時，求

A1P

PB

的值．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)

A1P

PB

=1，作PD∥A₁A交AB于D，連CD．由A₁A⊥面ABC，知PD⊥面ABC，當(dāng)P為A₁B中點時，D為AB中點，而△ABC為正三角形，則CD⊥AB，根據(jù)三垂線定理可得PC⊥AB．
（2）過D作DE⊥AC于E，連接PE，則PE⊥AC，根據(jù)二面角平面角的定義可知∠DEP為二面角P-AC-B的平面角，在三角形PED中求出PD與DE的關(guān)系，根據(jù)DE=AD•sin60°=

3

2

AD，得到PD與AD的關(guān)系，而PD∥A₁A，則PD=BD，從而求出

A1P

PB

的值．

解答：解：（1）當(dāng)

A1P

PB

=1時．作PD∥A₁A交AB于D，連CD．由A₁A⊥面ABC，知PD⊥面ABC．
當(dāng)P為A₁B中點時，D為AB中點．
∵△ABC為正三角形，∴CD⊥AB．∴PC⊥AB（三垂線定理）．

（2）過D作DE⊥AC于E，連接PE，則PE⊥AC，
∴∠DEP為二面角P-AC-B的平面角，∠DEP=

π

3

．
∴tan∠PED=

PD

DE

=

3

．
∴PD=

3

DE．
∵DE=AD•sin60°=

3

2

AD，
∴PD=

3

DE=

3

×

3

2

AD=

3

2

AD．
又∵PD∥A₁A，
∴PD=BD．
∴

A1P

PB

=

AD

DB

=

AD

PD

=

2

3

．

點評：本題主要考查了直線與平面垂直的性質(zhì)，以及三垂線定理和與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題，同時考查了學(xué)生計算能力、分析問題解決問題的能力，屬于中檔題．