Question

若一個(gè)底面邊長為，側(cè)棱長為的正六棱柱的所有頂點(diǎn)都在一個(gè)球面上，則此球的體積為    ．

Answer 1

【答案】分析：作出六棱柱的最大對角面與外截球的截面，設(shè)正六棱柱的上下底面中心分別為O₁，O₂，球心為O，一個(gè)頂點(diǎn)為A，如右圖．可根據(jù)題中數(shù)據(jù)結(jié)合勾股定理算出球的半徑OA，再用球的體積公式即可得到外接球的體積．
解答：解：作出六棱柱的最大對角面與外截球的截面，如右圖，則該截面矩形分別以底面外接圓直徑和六棱柱高為兩邊，
設(shè)球心為O，正六棱柱的上下底面中心分別為O₁，O₂，則球心O是O₁，O₂的中點(diǎn)．
∵正六棱柱底面邊長為，側(cè)棱長為
∴Rt△AO₁O中，AO₁=，O₁O=，可得AO==
因此，該球的體積為V=π•（）³=
故答案為：
點(diǎn)評：本題給出一個(gè)正六棱柱，求它的外接球的體積，著重考查了球的內(nèi)接多面體和球體積公式等知識(shí)點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題．