Question

已知函數(shù)，（）.

（Ⅰ）已知函數(shù)的零點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，求實(shí)數(shù)的范圍.

（Ⅱ）記函數(shù)的圖象為曲線.設(shè)點(diǎn),是曲線上的不同兩點(diǎn).如果在曲線上存在點(diǎn)，使得：①；②曲線在點(diǎn)處的切線平行于直線，則稱函數(shù)存在“中值相依切線”.

試問：函數(shù)（且）是否存在“中值相依切線”，請(qǐng)說明理由.

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）（Ⅱ）函數(shù)不存在“中值相依切線”，理由見解析。

【解析】解：(Ⅰ)(1)當(dāng)時(shí)，，直線與軸的交點(diǎn)為，即函數(shù)的零點(diǎn)為0，不在原點(diǎn)右側(cè)，不滿足條件.      (1分)

(2)當(dāng)時(shí)，，拋物線的頂點(diǎn)為，即函數(shù)的零點(diǎn)為0，不在原點(diǎn)右側(cè)，不滿足條件.            (2分)

（3）當(dāng)時(shí)，，拋物線開口向上且過原點(diǎn)，對(duì)稱軸，所以拋物線與軸的另一交點(diǎn)在對(duì)稱軸的左側(cè)，故函數(shù)的零點(diǎn)不在原點(diǎn)右側(cè)，不滿足條件.        (3分)

（4）當(dāng)時(shí)，，拋物線開口向上且過原點(diǎn)，對(duì)稱軸，所以拋物線與軸的另一交點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，故函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，滿足條件.           (4分)

（5）當(dāng)時(shí)，，拋物線開口向下且過原點(diǎn)，對(duì)稱軸，所以拋物線與軸的另一交點(diǎn)在對(duì)稱軸的右側(cè)，故函數(shù)有一個(gè)零點(diǎn)在原點(diǎn)右側(cè)，滿足條件.                         (5分)

綜上可得，實(shí)數(shù)的取值范圍是.           (6分)

 (Ⅱ)假設(shè)函數(shù)存在“中值相依切線”.

設(shè),是曲線上的不同兩點(diǎn)，且，

則，.

 

           （8分）

曲線在點(diǎn)處的切線斜率

，        （9分）

依題意得：.

化簡(jiǎn)可得： ，  即=.     （11分）

設(shè) ()，上式化為：, 即.    （12分）

令,.

因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/2012111915373073828880/SYS201211191538167226232917_DA.files/image042.png">,顯然，所以在上遞增,顯然有恒成立.

所以在內(nèi)不存在,使得成立.

綜上所述，假設(shè)不成立.所以，函數(shù)不存在“中值相依切線”.             （14分）