已知函數(shù)f(x)=2
3
a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3，且f(
π
24
)=0．
（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的周期T和單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）若f（θ）=-3，且θ∈(-
5π
24
，
π
24
)，求θ的值．
分析：（Ⅰ）利用二倍角根式化簡函數(shù)f(x)=2
3
a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3，為
3
a
2
sin4x-3cos4x，然后化為一個角的一個三角函數(shù)的形式，然后求函數(shù)f（x）的周期T和利用基本函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，求出函數(shù)f(x)=2
3
a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3單調(diào)遞增區(qū)間；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）的結(jié)果f(x)=6sin(4x-
π
6
)，代入f（θ）=-3，且θ∈(-
5π
24
，
π
24
)，直接求θ的值．
解答：解．（Ⅰ）f(x)=2
3
a•sinx•cosx•cos2x-6cos22x+3
=
3
a
2
sin4x-3cos4x．又f(
π
24
)=0，得a=6．
∴f(x)=3
3
sin4x-3cos4x=6sin(4x-
π
6
)．
∴函數(shù)f（x）的周期T=
π
2
，
由2kπ-
π
2
≤4x-
π
6
≤2kπ+
π
2
（k∈Z），
得函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間為[-
π
12
+
kπ
2
，
π
6
+
kπ
2
]，k∈Z；
（Ⅱ）依題意得sin(4θ-
π
6
)=-
1
2
，
∵θ∈(-
5π
24
，
π
24
)，∴-π＜4θ-
π
6
＜0．
∴4θ-
π
6
=-
π
6
或-
5π
6
．解得θ=0或-
π
6
．
點評：本題考查復合三角函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的周期性及其求法，考查轉(zhuǎn)化思想，計算能力，是中檔題，高考常考題型．
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相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-xx+1
；
（1）求出函數(shù)f（x）的對稱中心；
（2）證明：函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上為減函數(shù)；
（3）是否存在負數(shù)x0，使得f(x0)=3x0成立，若存在求出x0；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-x-1，x≤0
x
，x＞0
，則f[f（-2）]=
3
3
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2(sin2x+
3
2
)cosx-sin3x
（1）求函數(shù)f（x）的值域和最小正周期；
（2）當x∈[0，2π]時，求使f(x)=
3
成立的x的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=2-
ax+1
(a∈R)的圖象過點（4，-1）
（1）求a的值；
（2）求證：f（x）在其定義域上有且只有一個零點；
（3）若f（x）+mx＞1對一切的正實數(shù)x均成立，求實數(shù)m的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=
2-2cosx
+
2-2cos(
2π
3
-x)
，x∈[0，2π]，則當x=
4π
3
4π
3
時，函數(shù)f（x）有最大值，最大值為
2
3
2
3
．

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