Question

已知函數(shù)f(x)=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x
（1）將函數(shù)化為f(x)=Asin(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，-

π

2

＜φ＜

π

2

)的形式，并寫(xiě)出最小正周期．
（2）用“五點(diǎn)法”作函數(shù)的圖象，并寫(xiě)出該函數(shù)在[0，π]的單調(diào)遞增區(qū)間


（3）關(guān)于x的方程f（x）=k（0＜k＜2，0≤x≤π）有兩個(gè)解x₁，x₂時(shí)，求x₁+x₂．

Answer 1

分析：（1）利用二倍角公式、兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)函數(shù)的解析式，求出最小正周期．
（2）根據(jù)函數(shù)的解析式，用五點(diǎn)法做出簡(jiǎn)圖，結(jié)合圖象求出在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間．
（3）關(guān)于x的方程f（x）=k（0＜k＜2，0≤x≤π）有兩個(gè)解x₁，x₂時(shí)，由圖象的對(duì)稱(chēng)性知，x₁，x₂關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸x=

π

3

對(duì)稱(chēng)，從而有 

x1+x2

2

=

π

3

．

解答：解：（1）f(x)=sin4x+2

3

sinxcosx-cos4x=sin²x-cos²x+

3

sin2x=
  2（

3

2

sin2x-

1

2

cos2x）=2sin（2x-

π

6

）．最小正周期為 T=

2π

ω

=π．
  （2）用五點(diǎn)法做出簡(jiǎn)圖，列表如下：

2x- π 6	0	π 2	π	3π 2	2 π
x	π 12	π 3	7π 12	5π 6	13π 12
y	0	2	0	-2	0

描點(diǎn)作圖：
 在[0，π]上的單調(diào)增區(qū)間為[0，

π

3

]，[

5π

6

，π]．
（3）關(guān)于x的方程f（x）=k（0＜k＜2，0≤x≤π）有兩個(gè)解x₁，x₂時(shí)，由圖象的對(duì)稱(chēng)性知，x₁，x₂關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸 x=

π

3

對(duì)稱(chēng)，故

x1+x2

2

=

π

3

，∴x₁+x₂=

2π

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查三角公式的應(yīng)用，用五點(diǎn)法作圖，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，作圖是解題的難點(diǎn)．