【題目】如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,點A(﹣ ,0),B( ,0),銳角α的終邊與單位圓O交于點P. (Ⅰ)用α的三角函數(shù)表示點P的坐標(biāo);
(Ⅱ)當(dāng) =﹣ 時,求α的值;
(Ⅲ)在x軸上是否存在定點M,使得| |= | |恒成立?若存在,求出點M的橫坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】解:銳角α的終邊與單位圓O交于點P. (Ⅰ)用α的三角函數(shù)表示點P的坐標(biāo)為(cosα,sinα);
(Ⅱ) , , =﹣ 時,
即(cos )(cos )+sin2α= ,整理得到cos ,所以銳角α=60°;
(Ⅲ)在x軸上假設(shè)存在定點M,設(shè)M(x,0), ,
則由| |= | |恒成立,得到 = ,整理得2cosα(2+x)=x2﹣4,
所以存在x=﹣2時等式恒成立,所以存在M(﹣2,0)
【解析】(Ⅰ)用α的三角函數(shù)的坐標(biāo)法定義得到P 坐標(biāo);(Ⅱ)首先寫成兩個向量的坐標(biāo)根據(jù) =﹣ ,得到關(guān)于α的三角函數(shù)等式,求α的值;(Ⅲ)假設(shè)存在M(x,0),進(jìn)行向量的模長運算,得到三角等式,求得成立的x值.
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【題目】設(shè)函數(shù)f(x)=(1-x2)ex.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)當(dāng)x≥0時,f(x)≤ax+1,求a的取值范圍.
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【題目】如圖,在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,三角形ABC為等腰直角三角形,AC=BC= ,AA1=1,點D是AB的中點.
(1)求證:AC1∥平面CDB1;
(2)二面角B1﹣CD﹣B的平面角的大小.
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【題目】設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點P(x0 , h(x0))處的切線方程為l:y=g(x),當(dāng)x≠x0時,若 >0在D內(nèi)恒成立,則稱P為函數(shù)y=h(x)的“類對稱點”,則f(x)=x2﹣6x+4lnx的“類對稱點”的橫坐標(biāo)是( )
A.1
B.
C.e
D.
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【題目】如圖(1)所示,已知四邊形是由和直角梯形拼接而成的,其中.且點為線段的中點, , .現(xiàn)將沿進(jìn)行翻折,使得二面角的大小為90°,得到圖形如圖(2)所示,連接,點分別在線段上.
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)若三棱錐的體積為四棱錐體積的,求點到平面的距離.
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【題目】已知函數(shù)f(x)的定義域為R,若存在常數(shù)T≠0,使得f(x)=Tf(x+T)對任意的x∈R成立,則稱函數(shù)f(x)是Ω函數(shù). (Ⅰ)判斷函數(shù)f(x)=x,g(x)=sinπx是否是Ω函數(shù);(只需寫出結(jié)論)
(Ⅱ)說明:請在(i)、(ii)問中選擇一問解答即可,兩問都作答的按選擇(i)計分
(i)求證:若函數(shù)f(x)是Ω函數(shù),且f(x)是偶函數(shù),則f(x)是周期函數(shù);
(ii)求證:若函數(shù)f(x)是Ω函數(shù),且f(x)是奇函數(shù),則f(x)是周期函數(shù);
(Ⅲ)求證:當(dāng)a>1時,函數(shù)f(x)=ax一定是Ω函數(shù).
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【題目】如圖,已知AB為圓O的直徑,CD為垂直于AB的一條弦,垂足為E,弦AG交CD于F.
(1)求證:E,F,G,B四點共圓;
(2)若GF=2FA=4,求線段AC的長.
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【題目】已知一點在直線上從時刻t=0(s)開始以速度v(t)=t2﹣4t+3(m/s)運動,求:
(1)在t=4s時的位置;
(2)在t=4s的運動路程.
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