Question

已知點A（4，4，0），B（3，a，a-2），且|AB|=

3

．
（1）若點C的坐標為（2，2，2），求證：A，B，C三點共線．
（2）若點D的坐標為（5，4，1），試判斷△ABD的形狀．

Answer 1

考點：三角形的形狀判斷,三點共線

專題：空間向量及應用

分析：（1）求出B的坐標，根據(jù)向量共線即可證明A，B，C三點共線．
（2）求出三角形的邊長，根據(jù)余弦定理進行判斷即可．

解答： 解：（1）由|AB|=

3

得|AB|=

(4-3)2+(4-a)2+(a-2)2

=

3

．
平方得a²-6a+9=0，
即（a-3）²=0，解得a=3，
故B（3，3，1）．
若點C的坐標為（2，2，2），
則

AB

=（-1，-1，1），

AC

=（-2，-2，2），
滿足

AC

=2

AB

，
即

AC

，

AB

共線，則A，B，C三點共線．
（2）∵A（4，4，0），B（3，3，1）．D的坐標為（5，4，1），
∴|AB|=

(4-3)2+(4-3)2+(1-0)2

=

3

，|AD|=

(5-4)2+(4-4)2+(1-0)2

=

1+1

=

2

，
|BD|=

(5-3)2+(4-1)2+(1-1)2

=

4+9

=

13

，
由余弦定理得cos∠BAD=

AB2+AD2-BD2

2AB•AD

=

3+2-13

2 2 • 3

=-

4

6

＜0，
則∠BAD為鈍角，即△ABD的形狀為鈍角三角形．

點評：本題主要考查空間直角坐標系的應用，利用空間兩點間的距離公式以及余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．