Question

已知定義在R上的奇函數(shù)f（x）的圖象關于直線x=1對稱，f（-1）=1，則f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值為（ ）
A．-1
B．0
C．1
D．2

Answer 1

【答案】分析：先根據(jù)奇函數(shù)的性質得到f（0）=0，再由對稱性得到f（2）=f（0）=0，再由奇函數(shù)和關于直線x=1對稱得到f（4）=f（-2）=0，同樣得到當x為偶數(shù)時，f（x）=0；根據(jù)f（-1）=1和f（x）為奇函數(shù)得到f（1）=-f（-1）=-1，再由函數(shù)f（x）關于直線x=1對稱得到f（3）=f（-1）=1，進而可得到當x為奇數(shù)時，f（x）=1或者-1交替出現(xiàn)，進而可得到f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2009）的值．
解答：解：根據(jù)奇函數(shù)性質，f（0）=0
∵f（x）關于直線x=1對稱，∴f（2）=f（0）=0
再由奇函數(shù)性質，f（-2）=-f（2）=0
再由關于直線x=1對稱性質，f（4）=f（-2）=0
∴f（-4）=-f（4）=0
∴f（6）=f（-4）=0
…
∴當x為偶數(shù)時，f（x）=0
由題意，f（-1）=1
根據(jù)奇函數(shù)性質，f（1）=-f（-1）=-1
根據(jù)關于直線x=1對稱性質，f（3）=f（-1）=1
不難得出，當x為奇數(shù)時，f（x）=1或者-1，交替出現(xiàn)
最后出現(xiàn)的一個是f（2009），很明顯f（2009）=-1，前面的2008個全部抵消掉了
故而最終結果就是-1
故選A．
點評：本題主要考查函數(shù)的基本性質--奇偶性、對稱性．函數(shù)是高中數(shù)學的核心內容，每一個地方都離不開函數(shù)，對于其基礎性質一定要熟練掌握．