Question

方程（x²⁰⁰⁶+1）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁴）=2006x²⁰⁰⁵的實數(shù)解的個數(shù)為

1

．

Answer 1

分析：將方程等價變形，利用基本不等式，結(jié)合等號成立的條件，即可求得結(jié)論．

解答：解：（x²⁰⁰⁶+1）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁴）=2006x²⁰⁰⁵，等價于（x+

1

x2005

）（1+x²+x⁴+…+x²⁰⁰⁴）=2006
等價于x+x³+x⁵+…+x²⁰⁰⁵+

1

x2005

+

1

x2003

+

1

x2001

+…+

1

x

=2006，故x＞0，否則左邊＜0．
所以2006=x+

1

x

+x³+

1

x3

+…+x²⁰⁰⁵+

1

x2005

≥2×1003=2006．
等號當且僅當x=1時成立．
所以x=1是原方程的全部解．
因此原方程的實數(shù)解個數(shù)為1
故答案為1．

點評：本題考查函數(shù)與方程思想，考查基本不等式的運用，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．