Question

已知數(shù)列{a_n}，a_n≥0，a₁=0，a_n+1²+a_n+1-1=a_n²（n∈N⁺）．請(qǐng)用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)n∈N⁺時(shí)，a_n＜a_n+1．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：證明題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：對(duì)于n∈N^•時(shí)的命題，考慮利用數(shù)學(xué)歸納法證明．

解答： 證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明．
①當(dāng)n=1時(shí)，因?yàn)閍₂是方程x²+x-1=0的正根，所以a₁＜a₂．
②假設(shè)當(dāng)n=k（k∈N^*）時(shí)，a_k＜a_k+1，
因?yàn)閍_k+1²-a_k²=（a_k+2²+a_k+2-1）-（a_k+1²+a_k+1-1）=（a_k+2-a_k+1）（a_k+2+a_k+1+1），
所以a_k+1＜a_k+2．
即當(dāng)n=k+1時(shí)，a_n＜a_n+1也成立．
根據(jù)①和②，可知a_n＜a_n+1對(duì)任何n∈N^*都成立．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查數(shù)列的遞推關(guān)系，數(shù)學(xué)歸納法、不等式證明等基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能，同時(shí)考查邏輯推理能力．